一个有趣的概率问题

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Feb 3, 2023 03:45 AM

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三门问题

这是一个来自美国电视游戏节目的场景，参赛者会看见 三扇关闭了的门：

现在有三扇门，只有一扇门有汽车，其余两扇门的都是山羊。

汽车事前是等可能地被放置于三扇门的其中一扇后面。

参赛者在三扇门中挑选一扇。他在挑选前并不知道任意一扇门后面是什麽。

主持人知道每扇门后面有什么。

如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。

如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人等可能地在另外两扇有山羊的门中挑一扇门。

参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一扇门。

问题是：换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率？

一些讨论

中午吃饭的时候，一直在和朋友讨论这个问题，直觉上说，无论怎么选择，主持人帮助排除了一扇门之后，获奖的概率都是增大了。但是换和不换，感觉区别并不大，因为这时候获奖的概率从1/3提高到了1/2。最后严谨的推理了一番，一开始选中车的概率就是1/3，如果在主持人打开一扇门之后重新选择，分两种情况：

保持原来的选择：那么主持人开门这个事件对结果没有影响，所以依旧是 1/3。

选择另一扇门：这时候中奖的概率是从两扇门中间重新选择的，所以提升到 1/2。

最后的结论当然是换门了，不过事实是什么呢。

蒙特卡罗模拟

吃完饭对这个问题意犹未尽，最后在手机上把这个问题写成代码跑100000次，发现和之前想的并不一样。下面是选择另一扇门的情况

最后证明，选择换门得车概率达到66%以上。很反直觉但是细细想来的确如此，这和选羊的概率是一样的，选羊->换门->得车。这才是正确的思路。

感慨

一方面是概率真的挺重要的，生活中的好多事情都是概率问题，虽然不能完全的数字化，但是大概的情况还是需要自己去用数学思想衡量的。这个问题就是一个有趣的思路，如果从开始选择来推演结果的话，会面对非常多的干扰导致混乱，但是从结果上面直接看问题就会好一点，获得汽车的方式只有两种，选中汽车不换门，选中山羊换门。所以就算不用代码也是可以计算出来的。

另一方面，第一次感受到用计算机解决数学问题的乐趣，最近学习数据分析感觉还是挺好的，现在各种工具，各种语言，真的是太方便了。